Вторник, 21.11.2017, 05:41
ОТКРЫТАЯ ИНФОРМАТИКА
Приветствую Вас Гость | RSS
Главная История чисел Регистрация Вход
Меню сайта

Форма входа

Поиск

Календарь
«  Ноябрь 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930

Уроки №7-8

Из истории чисел

ЭТО ИНТЕРЕСНО

Почему возникла десятичная система счисления?
Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.


Невозможно представить себе нашу цивилизацию без чисел. Не даром древнегреческий мыслитель и философ Пифагор сказал "Все вещи суть числа". Слова, сказанные задолго до нашей эры, становятся только актуальней в нашем веке. Оцифрованный звук и изображение, виртуальная реальность и другие примеры современных информационных технологий - все суть числа. Причем в компьютере используются только два числа - 0 и 1 - двоичная система счисления. На изобретение и понимание этого ушли века. Рассмотрим, каким образом развивалась история знакомых нам чисел. 

Счет, изначально, появился из практических соображений. Люди перечисляли знакомые им предметы: одно дерево, два тигра и т.д. Так зародился натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Каждое следующее  натуральное число на 1 больше предыдущего. Очень необычно число единица.

  • С него начинается натуральный ряд.
  • Это единственное положительное число, равное своему обратному (обратным называется число, на которое надо умножить данное, чтобы получить единицу. Пара чисел, произведение которых равно единице, называют взаимнообратными).
  • При умножении единицы на любое другое число в результате получается это же число. 

Другое необычное число - ноль. Понятие нуля как числа потребовало большего времени и потребности в сложных математических вычислениях. Изобратателями нуля считают шумерскую цивилизацию (300 г. до н.э.), после которых это понятие начали использовать вавилонские математики. Далее про ноль забыли до 4 века нашей эры. Именно тогда в Индии также изобрели число "ноль", после чего разработали цифры от 0 до 9. Это была позиционная десятичная система счисления. Она оказалась довольно удобной и была перенята арабскими купцами. В период до 10века их изображение несколько изменилось, перейдя к привычным для нас цифрам 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9. Европа получила эти цифры от арабов и поэтому мы называем их "арабскими числами". Но не все сразу приживалось. В Европе долгое время ноль считали условным символом и не признавали числом почти до 17-го века. 

Основные свойства нуля:

  • Любое число при сложении с нулем не меняется;
  • Умножение на ноль любого числа дает ноль;
  • Ноль не имеет знака;
  • Ноль является четным числом и делится на все натуральные числа;
  • Деление на ноль невозможно. Следовательно для нуля не существует обратного числа.

Всего двух чисел (цифр) - один и ноль - достаточно для отображения любых других чисел. Эта система счисления будет называться двоичной.

Изучение чисел - это предмет древней и интересной науки "Теория чисел". В развитие этой науки внесли вклад многие знаменитые ученые. Например, легендарный греческий математик Евклид (книга "Начала"). Эратосфен - греческий математик, с именем которого связано определение всех простых чисел в ряду натуральных числе от 2 до N. Их трудами мы пользуемся до сих пор. Начиная с пятого класса мы проходим определение НОД по алгоритму Евклида, знакомимся с решетом Эратосфена и т.д.  

Евклидом было выполнено доказательство бесконечности ряда простых чисел, а основная теорема арифметики делает простые числа незаменимыми в определении делимости числа.  Согласно теореме, каждое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел. Причем такое представление единственно. 

Например, число 15 можно представить т.о.: 15= 2*3*5.  и т.д.

Система счисления - это способ наименования и представления чисел с помощью символов. Такие символы в любой системе счисления называют цифрами.

Алфавит системы счисления - это совокупность символов, используемых в данной системе счисления. 

Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. 

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Древнеегипетская система счисления выглядела так:  

Пример:   - число 345.

Данная система счисления являлась непозиционной.

Алфавитная система счисления

В середине V в. до н. э. появилась запись чисел нового типа, так называемая  алфавитная нумерация.  В этой системе записи числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки (значок — титло  ~ ): первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30, ..., 90, и следующие девять - числа 100, 200, ..., 900. Таким образом, можно было обозначать любое число до 999. Т.о. строились системы счисления на Руси, в древней Греции. 

Запись алфавитными символами могла делаться в любом порядке, так как число получалось как сумма значений отдельных букв. Записи – jlb,    bjl,   jbl  все эквивалентны и означают число 532.

Римская система счисления

Это нумерация, известная нам и в настоящее время. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме.

В Римской СС в качестве «цифр» использовались следующие заглавные латинские буквы:

 I         V         X         L         C         D         M

 1         5          10        50        100      500      1000

Например, в римской системе счисления число XXX (30) цифра X встречается трижды, и в каждом  случае обозначают одну и ту же величину – число 10, три раза по 10 в сумме дают 30. Величина в непозиционной СС определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.  Например:           IV=4 (V-I),     VI=6 (V+I).   

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 (два десятка, пяток, три единицы).

XCIX = - 10 + 100 - 1 + 10 = 99



Вопросы:

1. Запишите недостатки непозиционных систем счисления.

Задание (непозиционные системы счисления):

1.  А. С. Пушкин родился в MDCCXCIX году?

2. Вычислите и ответ запишите  с помощью римских цифр:

        a) MCM - XC =   

        б) LX + XXVIII =   

        в) CXLVII  - XXIII =

             г)   IX +MC =

3. Запишите римскими цифрами год создания первой ЭВМ.

4. Запишите десятичные числа в римской системе счисления:

a)   145 =       b)   473 =         с)1948 =


5. Переведите числа из римской системы счисления в десятичную:
                   a) MCMXCIX =        б) CMLXXXVIII =               в) MCXLVII =         


Проектная работа "Путешествие в историю чисел"


Основополагающий вопрос: Мир без чисел-какой он?

Проблемные вопросы:

  • Как считали люди в древности?
  • Почему числа такие разные?
  • Как возникли системы счисления?
  • Почему одно и то же число выглядит по-разному?
  • Когда 10-число нечетное?
  • Когда 2*2=100?
  • Какие системы счисления относят к "машинным"?

1. Тема: С помощью чего мы считаем?
Вопрос для исследования: Системы счисления анатомического происхождения
Цель исследования: Узнать о системах счисления анатомического происхождения и найти их применение в современном мире.
Варианты представления результатов исследования:

  • Презентация
  • Документ Word (реферат,эссе)
  • Публикация
  • Листинг программы на любом языке программирования

2. Тема: Наш буквенный счет
Вопрос для исследования: Алфавитные системы счисления
Цель исследования: Узнать об алфавитных системах счисления и найти их применение в современном мире.
Варианты представления результатов исследования:

  • Презентация
  • Документ Word (реферат,эссе)
  • Публикация

3. Тема: Непозиционные системы счисления
Вопрос для исследования: Римская и Вавилонская системы счисления
Цель исследования: Узнать о римской и вавилонской системах счисления и найти их применение в современном мире.
Варианты представления результатов исследования:

  • Презентация
  • Документ Word (реферат,эссе)
  • Публикация
  • Листинг программы на любом языке программирования

3. Тема: Как считает компьютер
Вопрос для исследования: «Машинные» системы счисления
Цель исследования: Узнать о "машинных" системах счисления и найти их применение в современном мире.
Варианты представления результатов исследования:

  • Презентация
  • Документ Word (реферат,эссе)
  • Публикация
  • Листинг программы на любом языке программирования
Наш опрос
Имеете ли вы доступ к компьютеру и в какой форме?
Всего ответов: 455

Друзья сайта
  • Министерство образования РБ
  • Официальный портал подготовки к ГИА и ЕГЭ
  • Всероссийская олимпиада школьников
  • Федеральный портал Российского образования
  • Институт развития образования РБ

  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0

    Copyright MyCorp © 2017 Бесплатный конструктор сайтов - uCoz