Понедельник, 25.09.2017, 16:34
ОТКРЫТАЯ ИНФОРМАТИКА
Приветствую Вас Гость | RSS
Главная Математическое моделирование Регистрация Вход
Меню сайта

Форма входа

Поиск

Календарь
«  Сентябрь 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930

Математическое моделирование

Наиболее мощным средством исследования в науке являются математические модели.

Построение математической модели начинается с описания исходных данных и результатов, а затем на основании изучения реальной системы устанавливают виды взаимосвязи между исходными данными и результатами. Формальная запись этих зависимостей и дает математическую модель.

Анализировать математические модели проще и быстрее, чем экспериментально определять поведение реального объекта в различных режимах работы. Кроме того, анализ математической модели позволяет выделить наиболее существенные свойства данной системы, на которые надо определить особое внимание при принятии решения.

Возможны различные классификации математических моделей:

1) по отраслям наук - математические модели в физике, химии, бологи и т.д.

2) по применяемому математическому аппарату - применяются различные типы уравнений, методов и т.д.

3) по цели, реализуемой в моделировании в разных видах человеческой деятельности.

Это интересно...
В 1601 году умер известный астроном Тихо Браге, который в течение 20 лет вел записи наблюдений положения планет. Эти записи он доверил своему ученику Иогану Кеплеру, поставившему себе задачу на основе данных наблюдений создать математическую модель, которая бы описывала закономерности движения планет. И в конце концов такая модель была создана. Она описывалась знаменитыми законами Кеплера. Позднее, когда Ньютон открыл закон всемирного тяготения, стали понятны силы, заставляющие планеты двигаться согласно модели Кеплера. В 1982 году оказалось, что Уран не подчиняется модели, даже учитывая влияние соседних планет. Французский астроном Леверье, проверяя этот факт, вычислил местоположение гипотетической планеты. Так, благодаря математической модели была обнаружена планета Нептун.



Пример. Модель "Прыжок с трамплина".

Моделирование широко используется в спорте. Рассмотрим и реализуем модель реальной ситуации в спорте.

Цель: понять как зависит дальность прыжка от конфигурации трамплина.

Входные параметры: h1, h2

Выходной параметр: l.

Из законов физики можно вывести формулу скорости лыжника: y=x2 / 4h1.  l=2sqr(h1,h2). Данные уравнения, при подборе параметров, дадут нам ответ на наш вопрос.

Приближенное решение уравнений.

Часто для формализации модели необходимо уметь записать процессы, протекающие в ней, с помощью математических уравнений. Но, как известно из алгебры, далеко не все уравнения имеют точное решение. Точные решения существуют только для некоторых уравнений определенного вида (линейные, квадратные, тригонометрические). Для всех остальных видов уравнений используют методы приближенного решения с заданной точностью. Эти методы могут быть как графическими так и числовыми. 

Графический метод

Построение графиков функций может использоваться для грубо приближенного решения уравнений. Известно, что для не имеющего точного алгебраического решения уравнения вида f(x)=0, где f(x) - некоторая непрерывная функция, корень (или корни) уравнения является точкой (или точками) пересечения графика функции с осью ОХ.

Задача. Найти графическим методом корень уравнения x3-cosx=0. 

Средство: электронные таблицы.

Метод: графический.

Построим график функции уравнения с помощью электронной таблицы.

Для этого возьмем промежуток по оси ОХ от -1,5 до 1,5 с шагом 0,2 и найдем в этих точках значения функции:

Далее, скопируем нашу формулу на все значения Х.

По полученным значениям Х и У построим график:

Т.о. мы можем сделать вывод: график функции пересекает ось ОХ водин раз и следовательно уравнение имеет один корень. по графику, грубо приближенно можно определить, что х=0,8.

Численные методы.

Метод половинного деления.

Данный метод является итерационным. Идея: если мы знаем отрезок, на котором существует корень, и функция на краях этого отрезка принимает значение разных знаков, то можно использовать метод половинного деления. Выбираем точность, с которой нам нужно найти решение и первоначальный отрезок [A,B] на котором существуют корни уравнения.  


Компьютерный практикум

Работа №1. Моделирование геометрических фигур в среде графического редактора.

Объект моделирования:геометрические фигуры

Цель: построение математической модели.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИИ
Аксиома. 
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и при том только одна. 
Свойство параллельных плоскостей. 
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения их параллельны. 

Задание 1. Построить сечение прямоугольного параллелепипеда, проходящее через три заданные точки А, В, С.


Алгоритм построения сечения параллелепипеда:
Провести линию через точки А и С, лежащие на одной грани SS1TT1. Продолжить линию до пересечения с ST (точка М). 
Провести линию через точки М и B, лежащие на нижней грани PRST. Обозначим К точку пересечения этой линии с ребром SP. 
Соединить точки КС, лежащие на одной грани. 
Через точку В провести линию, параллельную КС (свойство параллельных плоскостей). Обозначим Е точку пересечения с ребром R1T1. 
Соединить точки А и Е. Многоугольник АСКВЕ и есть сечение параллелепипеда. 
Конец алгоритма  


Задание 2. Построить сечение тетраэдра, проходящее через три заданные точки А, В, С.


Алгоритм построения сечения тетраэдра:
Провести линию через точки А и В, лежащие на одной грани TPR. 
Провести линию через точки В и С, лежащие на нижней грани PRS. Продолжить линию до пересечения с SР (точка М). 
Соединить точки А и М, лежащие в одной плоскости. Обозначим К — точку пересечения с ребром ТS. 
Соединить точки КС, лежащие на одной грани. Многоугольник АВСК и есть сечение тетраэдра. 
Конец алгоритма 


ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Построить параллелепипед и тетраэдр. 
Построить сечения по заданным точкам А, В, С. 
Составить и записать алгоритм построения в текстовом редакторе. 
Вариант 1.




Вариант 2.




Вариант 3.



Работа №2. Математическое моделирование в среде электронных таблиц. Смотреть

Работа №3. Создание графиков функций в среде электронных таблиц.

1. Строим графики функций у=х , у=х +а в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1. Сначала подставляем значение параметра: а=5, затем – а=-5, а=2, а=-2.Делаем вывод о преобразованиях графика функции. 
2. Строим графики функций у=х2   , у=(х+а)  в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1. Сначала подставляем значение параметра: а=2, затем – а=-2, а=5, -5. Делаем вывод о преобразованиях графика функции у=х .
3. Строим графики функций у=х2   , у=ах2    в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1. Сначала подставляем значение параметра: а=2, затем – а=1/2, а=-2. Делаем вывод о преобразованиях графика функции у=х2.
4. Строим графики функций у=2х, у=2х+5, у=2х+1+5 в одной системе координат на отрезке [-3; 3] с шагом 0,5; у=log2x, у=log2x-3, у=2log2x в одной системе координат на отрезке [0,5; 6,5] с шагом 0,5. Делаем вывод о преобразованиях графиков функций у=2х и у=log2x.
5. Строим графики функций у=sin x и y=0,5sin(x+pi/2) в одной системе координат на отрезке [0; 2pi] с шагом pi/2. Делаем вывод о преобразованиях графика у=sin x.

l
Дополнительное задание:построить графики функций
у=cos х, у=cos(х-pi/2), у=2cos (х-pi/2), у=1/х
 
Работа №4. Технология Поиск решения.

Предположим, что мы решили производить несколько видов конфет. Назовем их условно «А», «В», «С». Известно,  что реализация 10 кг конфет «А» дает прибыль 9 у.е., «В» − 10 у.е., «С» − 16 у.е.
Конфеты можно производить в любых количествах (сбыт обеспечен), но запасы сырья ограничены. Необходимо определить, каких конфет и сколько десятков килограмм необходимо производить, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной.
Нормы расхода сырья на производстве 10 кг конфет каждого вида приведены в таблице 
Сырье
 А 
В  
 С
 Запас сырья
Какао
18
15
12
360
Сахар
6
4
8
192
Наполнитель
5
3
3
280
Прибыль
9
10
16


Примерная таблица оформления решения задачи:
В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения
Установите целевую ячейку 6  равной  максимальному значению
Укажите изменяемые ячейки: 3:5
Опишите ограничения:
10<=360 10<=192 10<=180
$B3>=0 4>=0 5>=0
В Параметрах укажите Линейность модели
Запустите Поиск решения.



Кроссворд (И. Семакин http://school-collection.edu.ru/) 

Вставьте пропущенное слово или предложение:

Моделирование – метод познания окружающего мира, состоящий _________________

Модель – это объект, который используется в качестве____________ 

Различают ____________и ___________модели.

Натурные модели – это…

Информационные модели – это…

Основными видами информационных моделей являются:_________ ,_________, __________.

Математическая модель принадлежит к ___________ виду?

Математическая модель – это модель, построенная с использованием_______________

Приведите пример знаковой информационной модели, рассматриваемой на уроках математики.

Домашнее задание

Взять любую задачу из учебника математики и составить для нее математическую компьютерную модель.

Наш опрос
Сколько времени вы обычно проводите за комьпютером?
Всего ответов: 956

Друзья сайта
  • Министерство образования РБ
  • Официальный портал подготовки к ГИА и ЕГЭ
  • Всероссийская олимпиада школьников
  • Федеральный портал Российского образования
  • Институт развития образования РБ

  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0

    Copyright MyCorp © 2017 Бесплатный конструктор сайтов - uCoz